一种用于分析多标量场数据属性关系的多场对比度量

论文：A Gradient-Based Comparison Measure for Visual analysis of Multifield Data

会议：EuroVis 2011. Best paper 3.

作者：author: Suthambhara Nagaraj, Vijay Natarajan, Ravi S. Nanjundiah

本文介绍了一种可高效计算的、对噪音不敏感的、基于梯度的对比度量，用于分析多标量场数据属性之间的关系。相对于已有方法，主要不同在于可支持任意数目的多标量场数据，并且可扩展到时变数据及向量场数据。

本文的主要贡献在于，提出了一种新的对比度量，用于捕获和分析多标量数据场各个数据属性之间的关系，同时，通过展示对标量场噪音的不敏感性，从理论上阐述了其鲁棒性。第三，给出了一套相适应的快速计算算法，计算该度量。最后，通过在真实数据的应用验证了其有效性。

本文提出的对比度量叫做 multifield comparison measure,多场对比度量，这是一种基于梯度的对比度量。它被定义为多变量场中，由各个标量函数的梯度所组成的向量矩阵的模的形式。如下，f1 到 fm 是标量场函数，x1 到 xn 是局部坐标系。

$d F(p)=\left[\begin{array}{ccc}{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(p)} & {\dots} & {\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(p)} \\ {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}(p)} & {\dots} & {\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}(p)}\end{array}\right]$

空间上任意一点 p 上的导数可以写成矩阵 dF(p)。矩阵的模 nfp 就是所谓的 Multifield Comparison Measure。

矩阵的模有三个重要特性，第一个是对称性，也就是说，F 当中函数的排列变换不会对度量造成影响。第二个是坐标系统的独立性，它表明，局部坐标系统 X1,x2,…xn 的选取可以是任意的，空间中任何不同的局部坐标系对于本文的度量：矩阵 dF(p)的模没有任何影响，其独立于局部坐标系。文章中用 Matrix Norm 的四个属性

对其进行了数学上的论证。

对于稳定性，前提是标量场必须是分段线性函数。如上图，以二维的三角形网格为例。由于分段线性函数的特性，所以三角形内部的导数为常数。内部任意一点 p（x,y）的函数值可以被定义为

$f_{i}^{p}=\left(A_{1} f_{i}^{1}+A_{2} f_{i}^{2}+A_{3} f_{i}^{3}\right) x+\left(B_{1} f_{i}^{1}+B_{2} f_{i}^{2}+B_{3} f_{i}^{3}\right) y$

式中常数（A1 A2 A3 B1 B2 B3）只依赖于 a b c。F 上划线是函数集 F 的一个变幻排列，对应每个分量的值就如下式所示。

$\begin{array}{l}{\overline{F}=\left\{\overline{f_{1}}, \ldots, \overline{f_{m}}\right\}} \\ {\overline{f_{i}}=f_{i}+\varepsilon_{i}}\end{array}$

添加的噪音扰动为一个极小值。使用定义以及矩阵模的 4 个特性，经过变幻代入后，将新的度量与旧的度量（也就是矩阵的模）做差，得到两者的差异值，如下

$\begin{align} \left|\eta_{p}^{\overline{F}}-\eta_{p}^{F} \right| &\leq\|d \overline{F}(p)-d F(p)\|\\\ &\leq\left\|\begin{array}{ccc}{\varepsilon_{1}^{1}} & {\varepsilon_{1}^{2}} & {\varepsilon_{1}^{3}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {\varepsilon_{m}^{1}} & {\varepsilon_{m}^{2}} & {\varepsilon_{m}^{3}}\end{array}\right\|\left\|\begin{array}{ll}{A_{1}} & {B_{1}} \\ {A_{2}} & {B_{2}} \\ {A_{3}} & {B_{3}}\end{array}\right\| \\\ & \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{3}\left(\varepsilon_{i}^{j}\right)^{2}}\left\|\begin{array}{ll}{A_{1}} & {B_{1}} \\ {A_{2}} & {B_{2}} \\ {A_{3}} & {B_{3}}\end{array}\right\| \\\ & \leq(\sqrt{3 m}) \varepsilon \left\|\begin{array}{ll}{A_{1}} & {B_{1}} \\ {A_{2}} & {B_{2}} \\ {A_{3}} & {B_{3}}\end{array}\right\| \end{align}$

由结果公式可见，函数的有限变化只会对度量产生限定范围的影响，并且影响的大小直接受三角形网格大小的影响。（因为（A1 A2 A3 B1 B2 B3）只依赖于 a b c，后者由三角形面积决定）。因此，本文的度量对于数据中标量场和梯度场的噪音不敏感，是稳定的。

在数学上验证了本文方法的一些特性后，作者利用几个人工合成的标量场数据进行分析验证。如下图

当数据场含有两个标量场时，梯度的对齐程度可以反映变量间的关系。当两者的梯度平行或者反向平行时，这些点被称为雅克比集合，对应的度量（矩阵的模）达到最大值，可以认为相似性最高，或者最有关联。当梯度正交时，矩阵模变为最小值，这时，意味着两个数据属性互相独立。图 a 深红色（x 轴）是雅克比集合，深蓝色是梯度正交处。图 b，c 也一样。图 d 展示了一个数据场内的上百个标量场，这些标量函数梯度大小都为 1，并且在坐标轴上，方向均匀的随机生成。其他点，梯度方向也一致。可观察到，坐标轴上的矩阵模比其他地方低。红色地方都是一致的。

图 a,b,c 所包含的标量场函数公式请参考论文。

由于需要对数据场的每一个点进行度量的计算，计算量非常大。由度量（矩阵模）的定义，对其进行线性代数变换，可得下式所示简化形式。

$\begin{aligned} \eta_{p}^{F} &=\left(\max _{x \in \mathbb{R}^{n},\|x\|=1} x^{T} \Lambda x\right)^{\frac{1}{2}} \\ &=\max \{\sqrt{\lambda} : \lambda \text { is a diagonal element of } \Lambda\} \\ &=\max \left\{\sqrt{\lambda} : \lambda \text { is an eigenvalue of }(d F(p))^{T}(d F(p))\right\} \end{aligned}$

至此，我们已经将原公式中的度量计算转化为求 dF(p)T dF(p)的最大特征值。

而对于偏微分值，由于标量场是分段线性函数，我们可以通过在每个坐标轴方向采用“差分”计算每一个偏微分值，从而得到矩阵的表达形式。再计算特征值即可。

计算时间依赖于空间维度以及变量数目。

最后，作者将本文方法应用到几个真实数据，本博文仅例举一项，其他几个应用可参考论文，结果如下。

伊莎贝尔飓风数据 600600100 的网格，48 个时间步（代表 48 个小时）。数据属性包括风速的两个分量 u v

在气象学上，降雨若是伴随着云结构，则称为风雨带(rainbands)

两种不同密度和温度的云的边界地带称为 fronts，风雨带主要出现在 fronts 区域。温度较低那边称为 cooler fronts，反之 warmer fronts。

本文计算 u v 的对比度量来分析和研究 fronts。

第一行，第 10 小时，a 是模拟的区域，b 和 c 分别是 u 和 v 的单独体绘制效果。D 是多场对比度量的体绘制效果。单独可视化 u 和 v 都不能捕获 fronts 区域以及风雨带，而本文方法较好的捕捉到了 fronts 结构。

第二行，第 40 小时，a 和 b 分别是 u 和 v 的单独体绘制效果。c 是多场对比度量的体绘制效果。展示了不同 fronts 处的风雨带结构，并且 cooler fronts 遮挡了 warmer fronts。D 图是 c 的另外一个视角。可以区分 cooler 和 warmer fronts. 这些结构是雷暴等极端恶劣天气的预兆，所以捕获它们很有价值和意义。

由此，作者认为本文提出的多场对比度量在数据域的分布对于数据属性间的关系分析很有帮助。

关于未来工作，确定多标量数据场中某一数据属性的某个重要的数据值分布是一个很有挑战性的任务，未来有可能利用本方法的全局版本尝试解决

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